2015年考研数学辅导:无穷小的阶与应用
发布时间：2012/2/15 21:59:01 来源：城市学习网 编辑：admin
微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。
两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。
如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。
为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。
利用 Δy ~ d y （数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小 ——
当 f ′（x0）≠ 0 时 ，Δy ~ d y ，在原点计算Δy和d y ，得到常用的4个等价无穷小
sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2
最好再记住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2 （e xp（x）记以e为底的指数函数）
等价无穷小的复合拓展 ——
x→0 时，α (x)是无穷小，则 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……
标准阶无穷小与无穷小的阶 ——
高等微积分中，把 x→0（或0+）时，幂函数 y = （x的μ次方） 称为μ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是μ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有，
x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp（x）-1
常用的2 阶无穷小有 1- cos x
等价无穷小的差为高阶无穷小 ——
值得记一记的有（常见的三阶无穷小） x ? sin x ~ x 3 / 6
x ? lnx（1+ x）~ x2 / 2 ， exp（x）-（1 + x） ~ x2/2！ ，……
不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。
比如 y = ln（1+x）+ 1-cos x 是1 阶无穷小
再复杂一点， 5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x ? sin x ），是1阶无穷小
由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。
无穷小的积是高阶无穷小。
无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。
比如， x→0 时， x2 + 3x 与 x 同为1阶。实际上，x 2 + 3x = x（x+3），后因子极限非0
但 x sin（1/x）的阶数不能确定。
在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——
例1 x→∞， 求 lim x sin（2x/（x2+1））
分析 x→∞ 时，2x/（x2+1）是无穷小，sin（2x /（x2+1））~（2x /（x2+1），可替换。
